Modelovanie a identifikácia strojov a zariadení ako systémov s rozloženými parametrami


Belavý Cyril1, Heugerová Anna2 & Lavrinc Martin3

1 Ing., CSc., Katedra automatizácie a merania, Strojnícka fakulta, Slovenská technická univerzita, Nám.Slobody 17, 812 31 Bratislava, +421 7 397 193, +421 7 395 315, belavy@kam1.vm.stuba.sk

2 Ing.

3 Ing.

1. Abstrakt

This paper deals with the modelling and identification of Distributed Parameter Systems (DPS). Technological processes - real DPS can be considered in input/output relation as Lumped-input/Distributed-output Systems (LDS). Dynamics of such systems is described by lumped and distributed models. LDS in this structure offers large possibilities for solving tasks of modelling, identification and control of distributed parameter systems in the engineering practice.

Článok bol pripravený pri grantovej podpore projektu VEGA 95/195/198 ”Rozvoj metód automatického riadenia”.

2. Úvod

Systémy s rozloženými parametrami (SRP) sú systémy, ktorých stavové, resp. výstupné veličiny sú priestorovo rozložené veličiny, veličinové polia alebo nekonečno rozmerné veličiny.

Technologické procesy uskutočňované v zariadeniach značných geometrických rozmerov sú typickými prípadmi systémov s rozloženými parametrami. Palivo, suroviny a iné pracovné látky sú privádzané do týchto zariadení ako sústredené vstupné veličiny, pričom vlastné technologické procesy sa v nich uskutočňujú ako interakcie polí rôznych veličín. Tieto reálne systémy vo vstupno/výstupnom ponímaní sú systémy so sústredeným vstupom {Ui(t)}i=1,n a rozloženým výstupom Y(x,t), obr. 1.

Obr. 1. Systém so sústredeným vstupom a rozloženým výstupom (SSR)

3. Modelovanie SRP na báze SSR

Uvažujme lineárny SSR rozložený na intervale , obr. 2. Keď na i-ty vstup pôsobí signál , dostávame na výstupe rozloženú výstupnú veličinu , resp. v bode xi veličinu . Medzi a a získavame štandardnými identifikačnými metódami prenosové funkcie , ktoré vyjadrujú časovú zložku dynamiky SSR.

Ak , potom sú na výstupe rozložené prechodové charakteristiky , resp. . Pomocou nich vyjadríme redukované ustálené rozložené prechodové charakteristiky , ktoré tvoria priestorovú zložku dynamiky SSR a možno nimi vyjadriť ustálenú hodnotu celkovej rozloženej výstupnej veličiny :

(1)

Obr. 2. Odozva SSR pri samostatnom pôsobení i-tej vstupnej veličiny Ui(k).

4. Príklady modelovania a identifikácie parabolických SRP

A) dynamické charakteristiky SRP rozloženého na intervale

Dynamika SRP rozloženého na intervale je modelovaná na báze parciálnej diferenciálnej rovnice parabolického typu z ktorej je vyjadrený prenos medzi sústredenou vstupnou veličinou a rozloženou výstupnou veličinou. Pri samostatnom pôsobení 4 vstupných veličín na intervale získame dynamické charakteristiky, obr. 3, 4, kde na osi Time je čas [s], na osi x je dĺžka [m] a na osi Amplitude je teplota [°C].

 

Obr. 3. Rozložené prechodové charakteristiky od jednotlivých vstupných veličín

a)

b)

Obr. 4. Parciálne rozložené prechodové charakteristiky a ustálené stavy redukovaných prechodových charakteristík

Prenosové funkcie boli určené z parciálnych prechodových charakteristík, obr. 4 a) s použitím MATLAB Identification Toolboxu.

B) dynamické charakteristiky SRP získané metódou konečných prvkov

Rozložený systém parabolického typu s oborom definície W Î E2 je na obr. 5 a). Pri pôsobení sústredených vstupných veličín cez podoblasti {W }i=1,5 získavame metódou konečných prvkov (MKP) rozložené dynamické charakteristiky a ich identifikáciou prenosové funkcie . Súradnice xi v prenosoch prislúchajú súradniciam uzlových bodov siete MKP v blízkosti pôsobísk vstupných veličín.

a)

b)

c)

Obr. 5. Systém s rozloženými parametrami na báze MKP

a)

- definičný obor W a umiestnenie vstupných veličín na nosičoch Wi

b)

- rozložená prechodová charakteristika od vstupu U4(t)

c)

- parciálna prechodová charakteristika v uzle v blízkosti pôsobiska vstupu U4(t)

C) dynamické charakteristiky teplovzdušnej sústavy s rozloženými parametrami

Fyzikálny model teplovzdušnej sústavy, obr. 6 je v tvare rúry, vo vnútri ktorej sú 4 halogénové lampy slúžiace ako zdroj tepla. Prúdenie vzduchu zabezpečuje ventilátor V na vstupe. Teplotné pole vo vnútri modelu je merané termistormi. Vstupné signály {Ui(,t)}i=1,4 a výstupné signály {Y(xi,t)}i=1,11 sú v rozsahu 0-10 V.

V okolí pracovného režimu daného napätím {Ui(t)}i=1,4 = 5 V a polovičným výkonom ventilátora boli odmerané prechodové charakteristiky, obr. 7, kde Time je čas [s], x je dĺžka [mm], Temperature je prírastok napätia termistorov [V]. Prenosové funkcie boli identifikované z prechodových charakteristík na obr. 7 b).

Obr. 6. Schéma teplovzdušnej sústavy s rozloženými parametrami

a)

b)

c)

Obr. 7. Prechodové charakteristiky fyzikálneho modelu teplovzdušnej sústavy

a)

- rozložené prechodové charakteristiky od jednotlivých vstupov

b)

- parciálne rozložené prechodové charakteristiky v blízkosti jednotlivých vstupných veličín

c)

- ustálené stavy redukovaných prechodových charakteristík

Literatúra

HULKÓ, G., BELANSKÝ, J., BELAVÝ, C., KOVALČÍK, J., ANTONIOVÁ, M., SZUDA, J. & VÉGH, P. Identification and Modelling of Lumped Input and Distributed Output Systems of Accuracy Requested. Preprints of European Control Conference ECC 95. Roma : 1995.

HULKÓ, G., ANTONIOVÁ, M, BELAVÝ, C., BELANSKÝ, J., SZUDA, J. & VÉGH, P. Modelovanie, riadenie a návrh systémov s rozloženými parametrami s demonštráciami v prostredí MATLAB. Bratislava : Vydavateľstvo STU, 1998.