Problematika modelování ve výuce


Jakeš, Bohumil1, Kmínek, Miloš2 & Palatová, Marta3

1 Doc., Ing., CSc., VŠCHT, Ústav počítačové a řídicí techniky, Technická 5, 166 28 Praha 6, Bohumil.Jakes@vscht.cz, http://staff.vscht.cz:80/cgi-bin/toCP1250/uprt/

2 Doc., Ing., CSc., Milos.Kminek@vscht.cz

3 RNDr. CSc., Marta.Palatova@vscht.cz

1. Abstrakt

Common problems in mathematical models building and using of models in process control and technology are presented and the experience with education of mathematical modeling at Prague institute of chemical technology is described. The aim of this contribution is to provoke a discussion about the role of mathematical modeling in technology and education and to initiate an exchange of the opinions about it among the teachers of different types of technical universities.

2. Obecné otázky modelování

Prakticky ve všech učebních plánech studijních oborů zaměřených na oblast řízení procesů a také v řadě technologických oborů jsou v nějaké formě zařazeny předměty, které se zabývají analýzou reálných procesů a jevů [Sborník ze Setkání kateder 1997]. Jejich cílem je naučit studenty základním principům a dovednostem z oblasti tvorby matematických modelů a jejich verifikace, možností jejich využití a interpretace získaných výsledků.

Oblast modelování reálných procesů jako vědní disciplína prošla za posledních 50 let bouřlivým vývojem. Vedle tradiční odedávna používané deterministické matematicko-fyzikální analýzy procesů a jevů se začalo v modelování využívat kromě matematiky, fyziky a chemie také dalších vědních disciplín jako jsou teorie pravděpodobnosti, matematická statistika, teorie experimentální identifikace, kvalitativní a fuzzy modelování, teorie modelování neurčitosti, teorie neuronových sítí atd. Velice rychle se rozvíjejí nové technické prostředky modelování, zejména využívání počítačů včetně příslušného programového vybavení. Naskýtá se tedy závažná otázka, které základní znalosti z této široké nabídky studentům příslušných specializací předat při vymezeném a nepříliš velkém hodinovém rozsahu studijního plánu.

Je zřejmé [Jakeš & Palatová 1997], že tvorba modelu reálného procesu závisí na celé řadě podmínek, z nichž nejdůležitější jsou:

V oblasti řízení procesů jsou používány zejména modely dynamického, ale často i statického chování řízených reálných procesů a soustav a slouží hlavně pro simulaci a návrh algoritmů jejich řízení.

Získat explicitní matematický model zkoumaného procesu můžeme buď na základě matematicko-fyzikální analýzy zkoumané soustavy, kdy při tvorbě modelu využíváme základní zákony zachování (bilanční rovnice) a matematickou popřípadě statistickou charakterizaci fyzikálních, chemických a biochemických dějů a procesů probíhajících ve vyšetřované soustavě, nebo metodami experimentální identifikace, kdy k analýze chování využíváme aposteriorní informace z modelovaného procesu. Dnes se navíc při tvorbě modelů, zejména složitých, těžko poznatelných, obtížně měřitelných a vágních systémů, využívá i metod umělé inteligence. Získané matematické analyticko-statistické modely, které jsou dosud nerozšířenější skupinou modelů, považujeme za modely konvenční.

Při tvorbě modelu jsou velice důležité nejen cíle jeho budoucího využití, ale i apriorní informace o zkoumaném procesu, jejichž znalosti a analýza nám mohou usnadnit jednak výběr struktury modelu, jednak volbu vlastního parametrického nebo neparametrického vstupně-výstupního operátoru a tím neřešit problém "černé", ale "šedé skříňky". Problém "černé skříňky" lze řešit jedině experimentováním s daným systémem a na základě jeho chování usuzovat na jeho strukturu. Pokud nemáme žádné informace o struktuře studovaného systému, nemůžeme nikdy dosáhnout jistoty, že jsme problém "černé skřínky" u příslušného systému plně vyřešili. Je to dáno jednak tím, že žádné experimentování se systémem nemůže zaručit úplné odhalení jeho chování, jednak tím, že k určitému chování obvykle patří větší množství možných modelových struktur.

Velice častý a efektivní je postup, při kterém apriorní informace o zkoumaném procesu umožní vytvořit výchozí strukturu modelu a v následující fázi provést ztotožnění této struktury s reálným procesem využitím informací z experimentálně získaných dat (identifikace struktury a parametrů modelu). Právě apriorní informace, účel vytvářeného modelu, příslušné "know-how" a inženýrský cit nám pomáhají při zásadním rozhodování o výchozí třídě struktury modelu, kterou můžeme charakterizovat sjednocením vybraných vlastností a znaků modelu: kvantitativní - kvalitativní, deterministické - nedeterministické, spojité - diskrétní, se soustředěnými parametry - s rozloženými parametry, parametrické - neparametrické, časově invariantní - časově proměnné, vstupně-výstupní - stavové, jednorozměrové - vícerozměrové (SISO - MIMO), lineární - nelineární, statické - dynamické apod. Tím lze výrazně omezit rozsah řešeného problému, protože každá třída modelů má své teoretické zázemí, metody řešení, testy adekvátnosti a dnes také softwarové vybavení potřebné pro rychlejší vyřešení daného úkolu.

Podobně je možno se podrobněji vyjádřit i k dalším etapám procesu modelování (postulátům modelování, rozboru a ověření výchozích předpokladů, volbě kritéria adekvátnosti atd.), z nichž každá má svá specifika, problémy a postupy řešení.

Do učebních plánů našich studijních oborů se v současnosti doplňují stále nové disciplíny, které přinášejí studentům nové poznatky v důsledku rozvoje vědy, techniky a lidského poznání vůbec. Pro nás učitele pak nastává dilema co z nových poznatků do výuky zařadit a co ze starších poznatků vypustit, neboť jsme limitováni učební kapacitou studentů a vymezeným počtem hodin učebních plánů studijních oborů.

3. Výuka modelování na VŠCHT

Ve studijním oboru ASŘ na VŠCHT Praha se problematice modelování věnují zejména tři povinné jednosemestrální předměty: Modelování technologických procesů I. (7.semestr, týdenní hodinový rozsah (THR) 2/0/3, počet kreditů 6), Modelování technologických procesů II. (8.semestr, THR 2/0/2, počet kreditů 5), Experimentální identifikace (9.semestr, THR 2/0/2, počet kreditů 5), které se zabývají hlavně matematicko-fyzikální analýzou, simulací modelů a identifikací dynamických modelů a jejichž podrobná náplň je uvedena v [Jakeš & Palatová 1997]. K těmto předmětům je třeba doplnit i další tři jednosemestrální volitelné předměty: Náhodné procesy (7.semestr, THR 1/1/0, počet kreditů 2), Umělá inteligence (7.semestr, THR 2/0/2, počet kreditů 5), Neuronové sítě (8.semestr, THR 2/0/2, počet kreditů 5), které se zčásti věnují stochastickému a fuzzy modelování i použití neuronových sítí v modelování procesů, takže studenti mají možnost se podle svého zájmu seznámit i s těmito moderními přístupy.

Mimo obor ASŘ zajišťuje náš ústav spolu s Ústavem fyziky a měřicí techniky výuku modelování v rámci předmětu Měřicí a řídicí technika, který je povinný pro celou Fakultu chemicko-inženýrskou (6.semestr, THR 2/0/2, počet kreditů 4, modelování činí asi 15% rozsahu přednášek a 25% rozsahu laboratoří) a volitelný pro Fakultu technologie ochrany prostředí (7.semestr, THR 2/0/2) [Kmínek, Kadlec, & Macháč 1997]. Pro Fakultu potravinářské a biochemické technologie zajišťuje náš ústav výuku volitelného předmětu Výpočetní metody, modelování a optimalizace biotechnologických procesů (8.semestr, THR 1/0/3), který je zaměřen na využití modelování v biotechnologiích. Modelování se vyučuje také v některých dalších oborech studia na VŠCHT, tuto výuku si však obory zajišťují samy bez účasti našeho ústavu.

Studentům jsou tedy v poměrně velkém rozsahu předávány poznatky, které zahrnují celou škálu problematiky tvorby a užití modelů. Z metodiky je preferována matematicko-fyzikální analýza, protože kromě vytvoření vlastního modelu přináší hlubší pohled na modelovaný proces, vychází z jeho podstaty a ukazuje vzájemné souvislosti a návaznosti na jiné obory. Jedná se o syntézu znalostí z fyziky a chemického inženýrství (hydrodynamika, transportní jevy, principy bilance atd.), z fyzikální chemie (chemická kinetika, rovnováhy různého typu, vlastnosti látek atd.), z biochemie (enzymová kinetika, růst mikroorganismů atd.) a z vlastní technologie (konstrukce aparátů, technologické postupy, způsoby řízení procesů atd.). Dost místa se ve výuce věnuje rozboru, významu a platnosti výchozích (zjednodušujících) předpokladů při tvorbě modelu a jejich kvantitativnímu projevu v modelu, dále teorii analogie v přírodních dějích, významu obecných stavebních prvků soustav (odpor, kapacita, inertance) a jejich vlivu na dynamiku procesu, přesnosti popisu fyzikálních a biochemických dějů probíhajících za konkrétních podmínek v systému (např. zda je možno použít pro charakterizaci stavu tekutiny stavovou rovnici ideálního plynu nebo některou ze stavových rovnic pro reálný plyn), metodám linearizace a rozboru důsledků jejich použití při linearizaci nelineárních a bilineárních vztahů, vlivu jednotlivých procesních parametrů na výslednou dynamiku procesu, metodice sběru, zpracování a využití experimentálních dat při tvorbě modelů atd. Výsledný model je většinou získán ve tvaru soustavy nelineárních obyčejných nebo parciálních diferenciálních rovnic, diferenčních a integrálních rovnic. Oproti předchozím létům došlo ke značnému potlačení zobrazování modelů ve tvaru stavového popisu nebo operátorových přenosů, což je mj. důsledek možností a širokého využívání počítačové simulace. Při tvorbě modelů se prakticky nepoužívají prostředky vektorového a tenzorového počtu, protože studenti nemají potřebné matematické zázemí.

Reálné procesy lze často považovat za částečně známé dynamické systémy s explicitně vyjádřenou neurčitostí. S touto možností charakterizovat reálný proces seznamujeme studenty ve výkladu metod identifikace, v níž jsou zařazeny jako součást nedeterministických modelů i modely stochastické. Ty obsahují kvantitativní model neurčitosti na pravděpodobnostním principu, v němž jednotlivé proměnné, reprezentující vstupy a výstupy, jsou interpretovány jako náhodné vektory nebo náhodné procesy a neurčitost je popsána jejich pravděpodobnostním rozložením. Jiné typy neurčitosti se u nás nepřednášejí.

Pro vlastní práci s modelem studenti využívají počítačů s dostupným programovým vybavením, jako je EXCEL, různé toolboxy MATLABu (např. SIMULINK), simulační programy PSI, MAX, ASPEN a další, které mají zabudované nezbytné prostředky pro numerické řešení modelů. Při počítačovém zpracování je hlavním úkolem pedagogů vysvětlit nejen přednosti numerického řešení, ale poukázat i na jeho nedostatky, což většinou výrobce programu z pochopitelných důvodů neříká. Vezměme si např. simulační program MAX. Ten má pro simulaci k dispozici 24 modelů jednotkových chemicko-technologických operací, které mohou být přizpůsobeny řešenému problému prostřednictvím hodnot jednotlivých parametrů modelů. Veškerá dokumentace je však ryze uživatelská, k dispozici nejsou ani podrobnosti o použitých modelech (rovnicích) a metodách numerického řešení, ani výpis zdrojového programu. To mimo jiné znesnadňuje posouzení adekvátnosti a přesnosti v programu zabudovaných modelů. Zásadním nedostatkem také je, že simulační program je uzavřený, tj. nelze do něj zařadit vlastní model nějaké operace ani není možno existující knihovní modely modifikovat.

Do laboratoří z výše uvedených předmětů přicházejí studenti s určitým teoretickým zázemím z přednášek. Při řešení laboratorních úloh jsou pak vedeni k tomu, aby při tvorbě matematického modelu odkryli základní fyzikální děje, vazby a vztahy studovaného procesu, uvědomili si souvislosti a pokud možno je exaktně vyjádřili. Na získaném výsledném modelu pak provádějí modifikace a vlastní počítačové experimenty. Např. v laboratořích z Modelování technologických procesů II. řešili letos studenti 7 komplexních úloh, každý student samostatně. Úlohu dostávají zadanou slovně a její zpracování pro ně znamená realizovat následující etapy:

V letošním roce byla přidána i povinnost ústní prezentace výsledků, kdy každý student (ve 4. ročníku oboru ASŘ je 9 studentů) referoval o jedné úloze, kterou jeho kolegové znali, a musel s nimi o výsledcích diskutovat. Máme totiž zkušenosti, že mluvený projev studentů bývá slabší, proto jsme tento způsob prezentace zavedli.

Z průběhu našich laboratoří je možno shrnout určité kladné i záporné zkušenosti. Musíme konstatovat, že studenti jsou celkem nápadití a občas přijdou i se zcela nestandardním, ale vhodným řešením zadaného úkolu. Celkem nemají příliš velké problémy s vlastní tvorbou matematického modelu (možná je to i tím, že nezadáváme příliš náročné a komplikované technologie a procesy), ale veliké problémy jim dělá práce v různých fyzikálních jednotkách a jejich vzájemné převody. Velice důsledně vyžadujeme splnění dvou posledních bodů zpracování zadaného úkolu, i když se to studentům nelíbí, protože ti by nejraději pouze vytiskli nějaké výsledky bez komentáře a nechali posouzení jejich správnosti a adekvátnosti na učiteli. Interpretace modelových výsledků dělá studentům potíže a je pro praxi nesmírně důležitá, písemný protokol pokládáme za velice vhodnou průpravu nejen pro zpracování diplomové práce, ale i pro praxi.

Pro řešení zadané úlohy studentům nepředepisujeme použití konkrétních softwarových produktů. Mají již s počítači dostatečnou zkušenost a znají dost aplikačního programového vybavení, se kterým se teoreticky seznámili v předcházejících semestrech studia. S volbou vhodného programu však mívají studenti i určité problémy. Často dost přesně nevědí, jaké metody který program používá a mnohdy si jej zvolí jen proto, že jej již někdy použili a neuvědomí si, že to bylo za jiných podmínek. Neuvědomují si nebo nechtějí přemýšlet o tom, že existují, třeba i v rámci daného softwaru, vhodnější a jednodušší prostředky, které při řešení úlohy vedou k cíli. Sem spadají i problémy s numerickou nestabilitou, protože např. parametry programu včetně volby metody pro řešení diferenciální rovnice jsou implicitně nějak nastavené a student ani neví, co který znamená. Dále studenti často řeší výše popsané situace nikoliv důkladným rozmyšlením a rozborem, ale zkoušejí nasadit nějaký jiný program nebo prostě řeší problém metodou pokusů a omylů. V rámci laboratoří se sice snažíme vyložit alespoň trochu teorie, která se k těmto záležitostem váže, studenti mají možnost si to na praktických aplikacích vyzkoušet, ale naše zkušenost v tomto směru je, že často počítačového řešení využívají jen jako "kuchařky". Zde bychom velice rádi znali názory i zkušenosti z jiných škol i způsoby jak se s tímto problémem (patrně obecným) vyrovnávají jinde.

Bylo již naznačeno, že studenti mají značné potíže i s interpretací výsledků. Jsou schopni zveřejnit výsledek, který odporuje přírodním zákonům, běžné logice apod. Hodnotí výsledky často formulacemi typu "při tomto průtoku je taková koncentrace nějaké látky, při jiném průtoku je tato koncentrace", čili jen konstatují. Proto na interpretaci, diskusi a rozboru získaných výsledků trváme, abychom studenty přiměli se nad nimi z věcného, kvalitativního i kvantitativního hlediska hlouběji zamyslet.

Co se týče dalších metod modelování, zejména těch, které využívají prvků umělé inteligence, není jejich výuka u nás systematická, mj. proto, že jejich přínos k analýze procesu je malý. S těmito metodami jsou studenti seznamováni spíše okrajově v jiných předmětech a obvykle ve smyslu jejich využití k řízení procesů nebo ke zpracování signálů.

4. Závěry

V článku jsme se pokusili shromáždit soubor našich názorů a zkušeností souvisejících s tvorbou a využíváním matematických modelů ve výuce. Velice bychom uvítali vaše názory na výuku výše uvedené problematiky, zejména co považujete z obsahového hlediska za zvláště důležité, co si naopak myslíte, že již zastaralo a inženýr to tedy již nepotřebuje znát, jak se u vás využívá nedeterministických metod modelování, jaké jsou vaše zkušenosti se studenty ve smyslu jejich tvůrčí práce na modelech a na další otázky, zejména metodické.

5. Literatura

SBORNÍK ze Setkání kateder technické kybernetiky strojnických a technologických fakult. Zlín - Rusava, 2. - 4. 9. 1997, s. 3 - 88.

JAKEŠ, B. & PALATOVÁ, M. 1997. Postavení a úloha předmětů analýzy procesů ve studijním oboru ASŘ na VŠCHT Praha. In Sborník ze Setkání kateder ´97. Zlín-Rusava, 2. - 4. 9. 1997, s. 93 - 99

KMÍNEK, M., KADLEC, K. & MACHÁČ, J. 1997. Výuka základů průmyslového měření a řízení na VŠCHT v Praze. In Sborník ze Setkání kateder ´97. Zlín - Rusava, 2. - 4. 9. 1997, s. 93 - 99.