Řiditelnost standardních nelineárních dynamických systémů


Víteček Antonín

Prof. Ing., CSc., KATŘ - 352, FS VŠB - TU Ostrava, ul. 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava -Poruba, Antonin.Vitecek@vsb.cz

1. Úvod

Kontrola řiditelnosti nelineárních dynamických systémů je velmi náročná a je vždy velmi pracná.

Příspěvek je věnován odvození jednoduché podmínky řiditelnosti pro nelineární nestacionární dynamické systémy, jejichž matematické modely mají standardní tvar, resp. na něj mohou být transformovány.

2. Standardní nelineární dynamické systémy

Je uvažován nelineární nestacionární dynamický systém s matematickým modelem, který může být vyjádřen složkově

(1a)

resp. vektorově

(1b)

kde x je vektor stavových proměnných (stav), u - vektor řídicích proměnných (řízení), f - spojitá vektorová funkce, G - matice spojitých funkcí gij, n - řád nelineárního dynamického systému, nj - dílčí řád, m - počet řídicích proměnných, T - symbol transpozice, dim - dimenze vektoru nebo typ matice.

Matematické modely, jejichž složkové vyjádření má tvar (1a), jsou standardního tvaru nebo krátce standardní. V analogii s lineárními modely lze rovněž hovořit o nelineárním regulátorovém kanonickém tvaru (nonlinear controller canonical form) [1].

V celém dalším textu se předpokládá, že i = 1,2,...,n; j = 1, 2,..., m a striktně se nerozlišuje mezi pojmy systém a model.

3. Řiditelnost standardních nelineárních dynamických systémů

Vyhovují-li standardní nelineární dynamické systémy podmínce

,

(2)

kde rank znamená hodnost matice, jsou řiditelné.

Lze to snadno ukázat. Nelineární dynamický systém (1) se vyjádří ve tvaru

,



(3a)

,

(3b)

,

(3c)

kde fz je agregovaný vektor f, Gz - agregovaná matice G, Dz - nezáporná agregační matice typu (m, n), jejíž prvky jsou dány vztahy

.


(3d)

Agregovaný vektor fz a agregovanou matici Gz lze obdržet přímo z vektoru f a matice G vynecháním těch složek, resp. řádků, které odpovídají nulovým řádkům v matici G.

Je-li splněna podmínka (2), je zřejmé, že rovněž platí

,

(4)

a proto agregovaná matice Gz je v tomto případě regulární.

Bude-li nyní použito řízení

,

(5)

,

pak v souladu s (3a) se dostane

.



(6)

Použitím řízení (5) u nelineárního nestacionárního dynamického systému (1), za předpokladu splnění podmínky (4), resp. (2), byl získán lineární stacionární dynamický systém skládající se z m autonomních podsystémů dílčích řádů nj s novými vstupy . Názorněji to vyplývá z konvenčního zápisu (6)

,

(7a)

,



(7b)

,



(7c)

,


(7d)

.

(7e)

Lineární stacionární dynamický systém (7) má 2. kanonický tvar Brunovského-Luenbergera, který je vždy řiditelný [1-3]. Lze to snadno ukázat. Protože pro matice řiditelnosti autonomních podsystémů

,

(8)

platí

,

(9)

(tj. každý autonomní podsystém je řiditelný), proto je rovněž řiditelný celý systém (7).

Z řiditelnosti lineárního stacionárního dynamického systému (7) vyplývá při splnění podmínky (4) i řiditelnost původního standardního nelineárního nestacionárního dynamického systému (1).

Je zřejmé, že řiditelnost daného standardního systému může být lokální či globální v závislosti na tom, zda podmínka (4) je splněna lokálně či globálně.

4. Závěr

V příspěvku je odvozena velmi jednoduchá podmínka řiditelnosti pro nelineární nestacionární dynamické systémy s matematickými modely ve standardním tvaru.

Příspěvek vznikl za finanční podpory GAČR, v rámci řešení grantového projektu GA ČR č. 101/97/0739.

5. Literatura

KACZOREK, T. 1983. Teoria wielowymiarowych ukladów dynamicznych. Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1983.

KACZOREK, T. 1993. Teoria sterowania i systemów. Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993.

KLAMKA, J. 1990. Sterowalnosc ukladów dynamicznych. Warszawa - Wroclaw : Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1990.