Vzorkování signálů pro souběhovou analýzu strojních zařízení


Tůma, Jiří

Doc., Ing., CSc., Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba, 708 33  jiri.tuma@vsb.cz

1. Abstrakt

Referát se zabývá vzorkováním signálu pro souběhovou analýzu, při které se přizpůsobuje vzorkovací frekvence periodicitě práce analyzovaného zařízení. Cílem tohoto způsobu vzorkování je dosažení stavu, kdy jeden záznam vzorků pro výpočet FFT odpovídá jedné periodě stroje. Kromě popisu postupu, jak toho lze dosáhnout interpolací signálu zaznamenaného s konstantní vzorkovací frekvencí, je navržena také metodika hodnocení chyby interpolace.

2. Úvod

Hlavním přínosem souběhové analýzy je vyhodnocení signálů z periodicky pracujících strojních zařízení, které jsou navzorkovány tak, že jeden záznam pro výpočet FFT odpovídá jednomu z cyklů stroje. Jeden cyklus může představovat jednu otáčku libovolného hřídele. Připouští se rovněž, aby zmíněných cyklů bylo několik.

Jestliže stroj pracuje jen s jednou hřídelí, pak signál je periodický s dobou periody rovnající se době jedné otáčky. Z teorie Fourierových řad je známo, že takový signál obsahuje ve svém spektru pouze harmonické základní periody, tj. jeho spektrum je složeno pouze ze složek shodných s násobky frekvence (mimo stejnosměrné složky) první spektrální složky. Výhodou analýzy takového signálu je to, že nemusí být použita časová okna. Protože otáčky strojů nejsou ani při ustáleném chodu přísně konstantní, nedochází při vzorkování do záznamů o délce jedné otáčky k "rozmazání" spektrálních složek účinkem frekvenční modulace.

Pro stroje s větším počtem různých periodicit je znám postup tzv. synchronní filtrace (průměrování v časové oblasti), který umožňuje vliv periodicit různých od frekvence synchronizace (shodné s frekvencí otáček vybrané hřídele) v signálu potlačit.

Rozhodující operace při souběhové filtraci je vzorkování synchronní s otáčkami stroje. Synchronnost se rozumí dodržení vzorkovací frekvence o velikosti násobku frekvence synchronizačního signálu. Frekvence synchronizačního signálu je shodná s frekvencí otáček některé z hřídelí stroje. Jinak řečeno, synchronizace znamená opakované změření vzorků se shodným pořadím uvnitř záznamu pro výpočet FFT ve stejné fázi otočení zmíněného hřídele.

Pro speciální signální analyzátory nebo karty A/D převodníků v počítači je nejvhodnější, aby vzorkování bylo řízeno buď konstantní frekvencí nebo z vnějšku. Spouštění převodů vnějším impulsním signálem s frekvencí, která je odvozena od otáčejícího se hřídele, má nevýhodu v asynchronnosti převodů a pro vysoké vzorkovací frekvence nemusí být použitelná. Tento vnější vzorkovací signál je generován buď impulsním čidlem, které vysílá úměrně otočení hřídele impulsy, nebo z impulsní násobičky se vstupem signálu obsahujícího jeden impuls na otáčku. Impulsní čidlo musí být spojeno s hřídeli, což je často obtížně zajistitelné. Impulsní násobička nereaguje okamžitě na změnu frekvence otáček, ale se zpožděním vyplývajícím z funkce regulace frekvence výstupního signálu.

Nejnovější signálové analyzátory však disponují možností provádět souběhovou analýzu tak, že signál je vzorkován konstantní vzorkovací frekvencí, avšak je v souladu s frekvencí otáček převzorkován. Informace o frekvenci otáček je dána impulsním signálem například optického čidla, které generuje impulsy po odraze světla od reflexní plochy na povrchu hřídele. Tento impulsní signál vymezí v záznamu jednu otáčku a umožní posloupnost vzorků s konstantní časovou periodou vzorkování převzorkovat na signál s konstantní úhlovou (od otočení hřídele) periodou vzorkování. Tento postup se označuje jako digitální souběhová analýza. Referát se zaměřuje na některé technické aspekty řešení problému převzorkování.

3. Princip digitální souběhové analýzy

Základní operace spojená s převzorkováním na jiný vzorkovací interval je interpolace hodnot signálu mezi původními vzorky. Aby interpolování bylo pro všechny frekvenční složky přesné, je třeba ještě dalších úprav signálu, které jsou diskutovány v této části referátu.

Prvotní vzorkování signálu je při digitální souběhové analýze konstantní a pokud možno co nejvyšší vzorkovací frekvencí. Analogový signál je třeba před A/D převodem filtrovat, aby nevznikl aliasingový efekt - viz Shannon-Kotelnikův teorém. Z důvodu konečné délky přechodového pásma antialiasingového filtru je frekvenční rozsah analýzy jen asi 80 % poloviny vzorkovací frekvence. Poměr mezi vzorkovací frekvencí a rozsahem frekvenční analýzy je 2.56. Nejvyšší frekvenční složka (harmonický signál) má tedy více než dva a méně než tři vzorky za svou jednu periodu. Bez velké teorie si lze představit, že například lineární nebo také i kvadratická interpolace takového signálu je s velkou chybou. V technice digitální souběhové analýzy se však užívá předinterpolace s celočíselným zvětšením vzorkovací frekvence. U analyzátorů Brel Kjaer je to v režimu real-time čtyřnásobné zvětšení vzorkovací frekvence a při postprocesingu dat, zaznamenaných v režimu time-history, je zvětšení osminásobné. Postup je takový, že mezi změřené vzorky jsou vloženy tři a nebo sedm nulových vzorků. Tato operace se nazývá zředění signálu nulami. Zředění samozřejmě signál změní a to tak, že v jeho spektru se nad polovinou původní vzorkovací frekvence objeví složky nové, které je třeba odfiltrovat. K filtraci lze použít číslicového filtru se stejnými vlastnostmi jako je antialiasingový filtr s propustným pásmem v rozsahu antialiasingového filtru před A/D převodníkem. Antialiasingový filtr zmenšuje pro 14bitový převodník možné aliasingové složky o 80 dB.

Příklad jednonásobného zředění nulami je uveden na obr. 1. Výchozí harmonický signál s 5 periodami za dobu měření je vzorkován s frekvencí 100 Hz. Úplné Fourierovo spektrum výchozího signálu obsahuje celkem 32 složek, i když se vzhledem k symetrii pro reálné signály zobrazuje jen 16 + 1 = 17 složek. Nultá složka odpovídá střední hodnotě. Pátá složka a k ní symetrická složka s pořadím 32 - 5 = 27 mají nenulovou amplitudu. Dvakrát zředěný záznam obsahuje 62 složek, z nichž se znázorňuje 32 + 1 = 33 složek, tedy úplné spektrum výchozího signálu.

Po zředění je třeba nově vzniklé složky odfiltrovat. V uvedeném příkladu to znamená odstranění složky s vyšším pořadím než 16, tj. složky s pořadím 27. Zde je třeba zdůraznit, že analyzátor vzorkuje stále nejvyšší možnou frekvencí a příslušný analogový antialiasing filtr před A/D převodem bezpečně odstraní nežádoucí složky vstupního signálu. Po A/D převodu signálu se antialiasingová filtrace uskutečňuje číslicově se stejným účinkem, jako je tomu u analogové antialiasingové filtrace. Cílem této filtrace je odstranit opakovanou část spektra zředěného signálu, přičemž se signál musí zesílit tolikrát, kolikrát se výchozí posloupnost změřených vzorků zředila.

Obr. 1. Dvojnásobné zředění výchozího signálu

Anglické označení této operace zvětšení vzorkovací frekvence je oversampling. Výsledný signál má pro frekvenční složku místo mezi dvěma až třemi vzorky celkem mezi desíti až jedenácti vzorky pro čtyřnásobné zředění nulami a nebo ještě dvakrát více vzorků pro osminásobné zředění nulami. Interpolace takového signálu je mnohem přesnější ve srovnání se signálem původním.

Dalším důvodem fiktivního zvýšení vzorkovací frekvence je získání prostoru pro změny vzorkovací frekvence. Frekvenční rozsah analýzy (frekvence nejvyšší složky spektra) je vlastně dán pevně naladěným antialiasingovým filtrem před A/D převodem. Interpolace signálu nemůže tento rozsah zvětšit, ale pouze zmenšit, tzv. decimovat. Při interpolaci tedy je vypočten mezi vzorky signálu (se zvětšenou vzorkovací frekvencí) jen jeden vzorek. Zmenšení frekvence není libovolné, ale je limitováno aliasingem. Dokumentace analyzátorů Brel & Kjaer tento jev vysvětluje následujícím způsobem.

Pro následující úvahy bude vzorkovací frekvence interpolovaného signálu označena fD a frekvenční rozsah analýzy bude značen fR. Vzhledem k čtyřnásobnému zvětšení vzorkovací frekvence je změněn poměr mezi vzorkovací frekvencí a frekvenčním rozsahem analýzy změněn z 2.56 na . Data pro interpolaci byla filtrována antialiasingovým filtrem s frekvencí zlomu . Antialiasingový filtr potlačí o 80 dB složky signálu s frekvencí větší než je 1.56-násobek frekvence zlomu tohoto filtru, tj. od frekvence . Maximálně přípustná velikost zmenšení vzorkovací frekvence interpolací bez problémů s aliasingem vyplyne z následující úvahy.

Nechť maximální frekvenční rozsah analýzy, označený , je shodný s frekvencí zlomu antialiasingového filtru, . Frekvence vzorkování nabývá maximální hodnoty, která je označena . Mezi maximální vzorkovací frekvencí a frekvenčním rozsahem analýzy platí . Interpolací signálu lze frekvenci vzorkování (násobek je značen d) zmenšit na hodnotu tak, aby platilo , což je demonstrováno diagramech v obr. 2. Další zmenšení by způsobilo aliasingový jev, protože neúplně odfiltrované složky zasahují do frekvenčního rozsahu analýzy. Frekvenční pásmo analýzy o šířce pod minimální vzorkovací frekvencí, , se nesmí prolínat s přechodovým pásmem antialiasingového filtru a způsobit aliasingový efekt. Z podmínky lze odvodit, že poměr mezi maximální a minimální vzorkovací frekvencí interpolovaného signálu je , a proto maximální velikost zmenšení vzorkovací frekvence je rovna 5.92. Tento poměr určuje vztah mezi maximálním a minimálním frekvenčním rozsahem vyhodnocování spekter nebo také mezi maximálními a minimálními otáčkami stroje. Při osminásobném zvětšení vzorkovací frekvence je dovolený rozsah změn otáček ještě větší.

Obr. 2. Rozsah změn vzorkovací frekvence interpolací

Dosud uvedené informace o technice souběhové analýzy jsou dostupné v dokumentaci analyzátorů nebo ve firemní publikaci [Gade et.al. 1995]. Podrobnosti o provedení antialiasingových filtrů a způsobu interpolace výrobci analyzátorů neuvádějí. Pro rychlost operací lze očekávat, že jsou nejjednodušší možné. Nejpodstatnějším poznatkem z dokumentace je nutnost umělého zvýšení vzorkovací frekvence. Získá se tím prostor pro změnu vzorkovací frekvence a zpřesní se interpolace. Dalším poznatkem je to, že výsledná změna vzorkovací frekvence, která se projeví ve frekvenčním rozsahu spekter, znamená vždy její zmenšení oproti výchozí vzorkovací frekvenci signálu. V dokumentaci analyzátorů se uvádí, že frekvenční rozsah je poloviční oproti možnosti plynoucí z maximální frekvence vzorkování. Například pro vzorkovací frekvenci 65536 Hz je běžný frekvenční rozsah 25600 Hz, ale při digitální souběhové analýze jen 12800 Hz.

4. Rozbor chyb při digitální souběhové analýze

Chyba interpolace velikosti signálu mezi hodnotami a v časovém okamžiku je označena . Tuto chybu lze podle obr. 3 chápat jako amplitudový modulační signál. Jiným vysvětlením chyby interpolace je to, že tato hodnota patří jinému časovému okamžiku, což lze považovat za fázový modulační signál. Chyba interpolace se projeví tedy ve frekvenčním spektru vznikem postranních složek jako důsledek popsané smíšené modulace.

Nejjednodušší interpolace je lineární, tj. pro výpočet mezilehlého vzorku je předpokládáno, že mezi známými hodnotami signálu je jeho průběh lineární. Další, složitější type interpolace předpokládá parabolický průběh signálu mezi dvěma vzorky. Tato kvadratická interpolace byla použita ve školní verzi programu pro výuku zpracování signálů. Tento program má funkci zřeďování signálu volitelnou.

Obr. 3. Chyby vznikající interpolací signálu

Na obr. 4 je uveden příklad interpolace harmonického signálu o frekvenci 150 Hz, který přísluší frekvenci otáček 1.5 Hz. Jedná se tedy o 100. harmonickou frekvence otáček. Horní grafy ukazují přesnost výpočtu Fourierovy transformace s proměnnými typu single, tj. na 7 až 8 desetinných míst. Graf vpravo představuje ZOOM grafu vlevo. Po interpolaci má vzniknout teoreticky opět harmonický signál. Vlivem chyb se však jeho spektrum změní. Na spodních grafech je spektrum po interpolaci. Interpolace bez zvětšení vzorkovací frekvence (vlevo) není ovlivněna chybami, jako je tomu v případě se čtyřnásobným zředěním vzorků (vpravo). Chyby způsobují vznik postranních pásem k hlavní složce o frekvenci převzorkovaného signálu.

Obr. 4. Interpolace nových vzorků signálu v rozsahu 100 period signálu o frekvenci 150 Hz

Spektrum převzorkovaného harmonického signálu nezávisí na tom, zda je uměle zvýšena vzorkovací frekvence nebo zda je interpolován signál původní. Chyba je podle postranních pásem shodná. Bez zvýšení vzorkovací frekvence lze bez větších chyb interpolovat signál do 200 harmonické frekvence otáček, zatímco se čtyřnásobným zvětšením vzorkovací frekvence lze interpolovat signál až do 400 harmonické.

5. Závěr

Kromě popisu postupu úpravy vzorkovací frekvence signálu pro souběhovou analýzu je v referátu navržena metodika hodnocení chyby interpolace jako rozhodující operace pro výsledek harmonické analýzy. Pro posouzení přesnosti interpolace lze použít metodu amplitudové a fázové demodulace.

 

6. Literatura

GADE, S. et. al. 1995. Order Tracking Analysis. Brel & Kjaer Technical Review, No. 1, 1995.