Oprava chyb založená na redundanci informací v datech


Piechota, Hynek

Ing., FS VŠB-TU, katedra ATŘ-352, 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba,  hynek.piechota@vsb.cz, http://www.vsb.cz/~pie30

1. Úvod

Věrohodnost údajů soustavy čidel je možné při splnění určitých podmínek posuzovat podle toho, zda vyhovují matematickým rovnicím, které popisují zákonitosti sledovaného procesu. Mezi tyto zákonitosti patří zákon zachování hmoty a energie. Například součet proudů směřujících do uzlu musí být nulový. Pro materiálovou nebo tepelnou bilanci mohou čidla poskytovat měření toků.

Měření může být organizováno tak, že se jeden z proudů neměří a z uvedené podmínky se vypočte. Chceme-li však využít této rovnice ke kontrole měřených údajů je nutno měřit všechny proudy vstupující do uzlu. Ovšem vzhledem k tomu, že jsou ovlivněny chybami měření jejich součet není nulový.

Rovnice, kterým mají správné hodnoty měřených údajů vyhovovat, jsou zpravidla vzhledem k těmto hodnotám lineární nebo je lze snadno linearizovat. Vazebních rovnic pro měřené údaje může být několik. Podmínkou ovšem je, aby tyto rovnice byly vzájemně nezávislé a jejich počet byl menší než počet měřených údajů. Nezávislost soustavy vazebních rovnic je chápána tak, že žádnou rovnici soustavy nelze odvodit z rovnic ostatních. Změřené údaje obvykle výše zmíněným rovnicím nevyhovují, protože jsou zatíženy náhodnými a systematickými chybami měření. Vliv těchto chyb lze eliminovat použitím oprav údajů soustavy čidel.

Tyto opravy se provádí pro daný typ rozdělení chyb měření. Vhodnost výběru opravy chyb měření se posuzuje pomocí podmíněné střední hodnoty druhé mocniny délky vektoru, z níž plyne, že nejvhodnější opravou vektoru pozorovaných údajů je vektor podmíněných středních hodnot chyb měření.

2. Definice úlohy

Nechť soubor měřených údajů (jedno pozorování) je dán vektorem , chyby měření vektorem a správné hodnoty měřených údajů vektorem . Vektor chyb je definován tak, že platí .

Vzájemné vazby mezi správnými hodnotami měřených údajů lze vyjádřit soustavou lineárních rovnic

(1)

Matice A je obdélníková typu a vektor b0 má počet složek m, přičemž . Po dosazení za vektor v nabude soustava rovnic (1) tvar

,

(2)

kde . Rovnice soustavy (1) mají být podle zadání vzájemně nezávislé. To znamená, že ze sloupců matice A lze sestavit regulární matici řádu m. Hodnost matice A je h(A)=m. Soustava rovnic (2) vzhledem k většímu počtu neznámých než rovnic nemá jednoznačné řešení, hovoříme o nedourčené soustavě.

Chyby měření jsou náhodné veličiny. Jejich statistické vlastnosti popisuje sdružená hustota rozdělení, která je označena p(x), kde x je vektor z n-rozměrného euklidovského prostoru. Kromě vektoru x je hustota rozdělení funkcí řady parametrů, daných konkrétním typem rozdělení náhodných chyb. Oprava měřených dat bude v dalším textu odvozena pro normální rozdělení náhodných chyb měření.

Příklad

Nechť je dvěma různými způsoby měřen jeden průtok. Například integrovaný údaj u1 kontinuálního měřiče průtoku je doplněn údajem o sumárním průtoku u2. Platí

(3)

tj.

.

(4)

Opravy měřených údajů pro konkrétní tvar sdružené hustoty p(x1, x2) budou odvozeny v následujícím textu.

3. Obecné vzorce pro odvození algoritmu výpočtu oprav

Vektor chyb může před uskutečněním měření nabýt libovolné hodnoty v souladu se svým rozdělením. Akt měření váže realizaci náhodné veličiny podmínkou (2). Volba oprav měřených údajů může být libovolná, protože soustava (2) nemá jednoznačné řešení. Jestliže jsou jednotlivé složky vektoru vybrány tak, aby bylo rozumné posuzovat euklidovskou délku rozdílu , pak z možných voleb opravy mohou být některé vhodnější než jiné [Tůma, J. 1988]. Protože informace o konkrétní hodnotě je nahrazena sdruženou hustotou rozdělení p(x), lze hodnotit vhodnost výběru pouze podmíněnou střední hodnotou

,

(5)

kde E{} je symbol operace střední hodnoty. Toto kritérium pro výpočet nejvhodnější opravy je možné upravit do tvaru

,

(6)

kde je podmíněná střední hodnota vektoru chyb měření

(7)

Prvý člen pravé strany rovnice (6) je rozptyl přípustných hodnot chyb měření od střední hodnoty . Druhý člen pravé strany (6) je druhá mocnina euklidovské délky vektoru . Minimální velikosti nabývá kritérium (6) pro . Nejvhodnější opravou vektoru pozorovaných údajů podle kritéria (6) je tedy vektor podmíněných středních hodnot .

Pro odvození vzorců k výpočtu vektoru bude v systému rovnic (2) rozdělena matice A na bloky a vektor na složky následujícím způsobem

,

(8)

kde A1 je matice typu a A2 je čtvercová matice řádu m. Pořadí složek vektoru musí být voleno tak, aby matice A2 byla regulární, tj. hodnost h(A2)=m a existovala A2-1.

Smyslem úprav je zavedení transformace vektoru na vektor , která zjednoduší zápis vazební podmínky (2) pro chyby měření. Vhodnou transformací je

(9)

s blokovou maticí

,

(10)

ve které E označuje jednotkovou matici a 0 nulovou matici. Vektor je rozdělen na složky . Jednoduchým výpočtem lze ukázat, že podmínka (2) je ekvivalentní

(11)

Akt měření tedy znamená přiřazení konkrétní hodnoty složce .

Náhodnému vektoru , který je rozdělen na složky , přísluší sdružená hustota rozdělení

(12)

s podobně rozděleným vektorem x na složky x1 a x2. Sdružené hustotě rozdělení náhodného vektoru  se složkami přísluší

(13)

Hustotu rozdělení g(y) určuje transformace (9)

.

(14)

Výpočet oprav dospěl do fáze, ve které je odvozena sdružená hustota náhodného vektoru se složkou nabývající po aktu měření známou hodnotu (9). Je třeba určit, jak znalost velikosti jedné složky náhodného vektoru ovlivní sdruženou hustotu rozdělení druhé složky. Z axiomatických základů teorie pravděpodobnosti plyne

,

(15)

kde integrál přes obor hodnot y1

(16)

je marginální sdružená hustota rozdělení složky , která se získá integrací (13) přes obor hodnot proměnné y1.

4. Výpočet oprav pro normální rozdělení

Pro normální rozdělení náhodných chyb měření s nulovou střední hodnotou a kovarianční maticí C má sdružená hustota rozdělení p(x) tvar

.

(17)

Výpočet rozdělení veličiny h1 pro

Nechť kovarianční matice je diagonální ve tvaru

,

(18)

kde

(19)

a jsou rozptyly chyb měření.

Hustotu rozdělení g(y)=g(y1,y2), kde , pro normální rozdělení se zkráceným zápisem , resp.  vypočteme ze vztahu

,

(20)

kde

Pro další úpravy se použije rovnost

dosadí-li se

(22)

(23)

(24)

Pak

Rozdělení výrazu sleduje cíl úprav pro výpočet podmíněné hustoty v další kapitole. Výraz S představuje střední hodnotu, jež můžeme zjednodušit použitím Householderovy maticové identity.

Householderova maticová identita

Maticový tvar

,

(25)

kde A a C jsou regulární matice můžeme vyjádřit takto:

(26)

Po dosazení B = BT , C = D a D = B získáme pro nás použitelný Householderův tvar:

.

(27)

Při zjednodušení výrazu pro střední hodnotu vycházíme z výrazu (27), ve kterém , čímž dostáváme následující výraz:

(28)

Výpočet podmíněné hustoty pravděpodobnosti

Po dosazení bude mít hustota rozdělení tvar

,

(29)

(30)

přičemž konstata K a střední hodnota S se vypočtou podle vzorce (22), resp. (24).

Podmíněná sdružená hustota normálního rozdělení bude mít tedy následující tvar:

(31)

Výpočet podmíněných středních hodnot

Z podmíněné sdružené hustoty rozdělení (13) se vypočte podle definičního vzorce podmíněná střední hodnota složky

(32)

(33)

Podmíněnou střední hodnotu vektoru chyb měření určíme použitím níže uvedené transformace analogické k transformaci (7).

(34)

(35)

Podmíněná střední hodnota tedy závisí na matici soustavy rovnic A, matici pravých stran soustavy rovnic b a kovarianční matici C.

5. Příklad použití

Praktickou ukázkou využití oprav údajů soustavy čidel může být i následující příklad.

Zadání

Ve výměníkové stanici se ohřívá studená voda v pěti průtokových ohřívačích. Ohřátá voda se přivádí do jednoho uzlu, ze kterého se odvádí ke dvěma odběratelům. Místo teoreticky správné bilance bylo měřením zjištěno, že , přičemž .

Čidla vstupních toků Q1, Q2 a Q3 mají stejnou přesnost, přičemž jejich chyby jsou však dvakrát větší než u čidel vstupních toků Q4 a Q5 a výstupního toku Q6. Chyba čidla výstupního toku Q7 je třikrát větší než u čidel toků Q4, Q5 a Q6. Chyby měření mají normální rozdělení.

Určete opravy měřených údajů.

Řešení

tj.

Kovarianční matice C bude mít následující tvar

,

kde

kde jsou rozptyly chyb měření.

Pro náš příklad nabude kovarianční matice s rozptyly na hlavní diagonále tvaru

.

Opravy potom vypočteme dle vztahu

Správné hodnoty tedy získáme použití následujícího vzorce:

.

6. Zhodnocení

Práce analyzuje postup opravy údajů čidel pro zadaný zákon rozdělení náhodných chyb měření a pro zadanou soustavu lineárních rovnic, které vážou správné hodnoty měřených údajů a jejichž počet je menší než počet údajů v jednom pozorování. V práci je odvozen obecný postup výpočtu oprav vzájemně závislých údajů, který je konkretizován pro normální rozdělení náhodných chyb měření (vzorec (35)).

V závěru práce je předvedena ukázka použití oprav údajů soustavy čidel pro měření průtoků před a za uzlem, ve kterém se tyto průtoky sbíhají. Z ukázky je patrné, že provedení opravy údajů je velice jednoduché. Toto lze ještě zjednodušit použitím programového modulu zpracovaného např. v prostředí programu Matlab.

Výpočet oprav měřených údajů lze použít v automatizovaných systémech sběru dat. Absolutní velikost opravy a rozptyl chyb měření mohou sloužit ke kontrole stavu příslušného čidla.

7. Literatura

FIEDLER, M. 1981. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. Praha : SNTL, 1981.

TŮMA, J. 1988. Opravy závislých údajů soustavy čidel se známým rozdělením chyb měření. Automatizace, 1988, č.10, s. 258-262.

TŮMA, J. 1998. Složité systémy řízeni. 1. vyd. Ostrava : VŠB-TU Ostrava, 1998.